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内蕴几何

哪些几何概念是内蕴性质的?这是当时最重要的理论问题。高斯发现了曲面的曲率(即反映弯曲程度的量)竟然是内蕴的---尽管它的原始定义看上去和所处的大空间位置有关。这个重要发现就称为高斯绝妙定理。古典几何的另一个重要发现就是高斯-博纳特公式,它反映了曲率和弯曲空间里的三角形三角之和的关系。

研究内蕴几何的学科首属黎曼几何·黎曼在一次著名的演讲中,创立了这门奠基性的理论。它首次强调了内蕴的思想, 并将所有此前的几何学对象都归纳到更一般的范畴里,内蕴地定义了诸如度量等等的几何概念。 这门几何理论打开了近代几何学的大门,具有里程碑的意义。它也成为了爱因斯坦的广义相对论的数学基础。

从黎曼几何出发,微分几何进入了新的时代,几何对象扩展到了流形(一种弯曲的几何物体)上--这一概念由庞加莱引入。由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何、莫尔斯理论、形变理论等等。

从代数的角度看, 几何学从传统的解析几何发展成了更一般的一门理论--代数几何。传统代数几何就是研究多项式方程组的零点集合作为几何物体所具有的几何结构和性质--这种几何体叫做代数簇。解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、锥面等等都是其中的特例。稍微推广一些,就是代数曲线,特别是平面代数曲线, 它相应于黎曼曲面。代数几何可以用交换代数的环和模的语言来描述,也可以从复几何、霍奇理论等分析的方法去探讨。代数几何的思想也被引入到数论中, 从而促使了抽象代数几何的发展,比如算术代数几何。

拓扑学

拓扑学是和传统几何密切相关的一门重要学科,也可以视为一种柔性的几何学, 也是所有几何学的研究基础。拓扑学研究始于欧拉,经由庞加莱等人的研究发展,逐渐成为比较成熟的数学分支和活跃的研究方向。拓扑学思想是数学思想中极为关键的内容。它讨论了刻画几何物体最基本的一些特征,比如亏格(洞眼个数)等等 。由此发展出了同调论、同伦论等等基础性的理论。

其他学科

除了以上传统几何学之外,我们还有闵可夫斯基建立的数的几何; 与近代物理学密切相关的新学科热带几何;探讨维数理论的分形几何;还有凸几何、组合几何、计算几何、排列几何、直观几何等等。